概要：直线OP的方程为 即令 ，得M点纵坐标 得证.由此可见，按这一思路去证，运算较为繁琐.思路二：利用命题“如果过抛物线 的焦点的一条直线和这条抛物线相交，两上交点的纵坐标为 、 ，那么 ”来证.设 、 、 ，并从 及 中消去x，得到 ，则有结论 ，即 .又直线OP的方程为 ， ，得 .因为 在抛物线上，所以 .从而 .这一证法运算较小.思路三：直线MQ的方程为 的充要条件是 .将直线MO的方程 和直线QF的方程 联立，它的解(x ,y)就是点P的坐标，消去 的充要条件是点P在抛物线上，得证.这一证法巧用了充要条件来进行逆向思维，运算量也较小.说明：本题中过抛物线焦点的直线与x轴垂直时(即斜率不存在)，容易证明成立.例2 已知过抛物线 的焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，点R是含抛物线顶点O的弧AB上一点，求△RAB的最大面积.分析：求RAB的最大面积，因过焦点且斜率为1的弦长为定值，故可以 为三角形的底，只要确定高的最大值即可.解：设AB所在的直线方程为 .将其代入抛物线方程 ，消去x得当过R的直
高三数学《抛物线》教案,标签：教学设计,http://www.85jc.com直线OP的方程为 即
令 ，得M点纵坐标 得证.
由此可见，按这一思路去证，运算较为繁琐.
思路二：利用命题“如果过抛物线 的焦点的一条直线和这条抛物线相交，两上交点的纵坐标为 、 ，那么 ”来证.
设 、 、 ，并从 及 中消去x，得到 ，则有结论 ，即 .
又直线OP的方程为 ， ，得 .
因为 在抛物线上，所以 .
从而 .
这一证法运算较小.
思路三：直线MQ的方程为 的充要条件是 .
将直线MO的方程 和直线QF的方程 联立，它的解(x ,y)就是点P的坐标，消去 的充要条件是点P在抛物线上，得证.这一证法巧用了充要条件来进行逆向思维，运算量也较小.
说明：本题中过抛物线焦点的直线与x轴垂直时(即斜率不存在)，容易证明成立.
例2 已知过抛物线 的焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，点R是含抛物线顶点O的弧AB上一点，求△RAB的最大面积.
分析：求RAB的最大面积，因过焦点且斜率为1的弦长为定值，故可以 为三角形的底，只要确定高的最大值即可.
解：设AB所在的直线方程为 .
将其代入抛物线方程 ，消去x得
当过R的直线l平行于AB且与抛物线相切时，△RAB的面积有最大值.
设直线l方程为 .代入抛物线方程得
由 得 ，这时 .它到AB的距离为
∴△RAB的最大面积为 .
例3 直线 过点 ，与抛物线 交于 、 两点，P是线段 的中点，直线 过P和抛物线的焦点F，设直线 的斜率为k.
(1)将直线 的斜率与直线 的斜率之比表示为k的函数 ;
(2)求出 的定义域及单调区间.
分析： 过点P及F，利用两点的斜率公式，可将 的斜率用k表示出来，从而写出 ，由函数 的特点求得其定义域及单调区间.
解：(1)设 的方程为： ，将它代入方程 ，得
设 ，则
将 代入 得： ，即P点坐标为 .
由 ，知焦点 ，∴直线 的斜率
∴函数 .
(2)∵ 与抛物线有两上交点，∴ 且
解得 或
∴函数 的定义域为
当 时， 为增函数.
例4 如图所示：直线l过抛物线 的焦点，并且与这抛物线相交于A、B两点，求证：对于这抛物线的任何给定的一条弦CD，直线l不是CD的垂直平分线.
分析：本题所要证的命题结论是否定形式，一方面可根据垂直且平分列方程得矛盾结论;别一方面也可以根据l上任一点到C、D距离相等来得矛盾结论.
证法一：假设直线l是抛物线的弦CD的垂直平方线，因为直线l与抛物线交于A、B两点，所以直线l的斜率存在，且不为零;直线CD的斜率存在，且不为0.
设C、D的坐标分别为 与 .则
∴l的方程为
∵直线l平分弦CD
∴CD的中点 在直线l上，
即 ，化简得：
由 知 得到矛盾，所以直线l不可能是抛物线的弦CD的垂直平分线.
证法二：假设直线l是弦CD的垂直平分线
∵焦点F在直线l上，∴
由抛物线定义， 到抛物线的准线 的距离相等.
∵ ，
∴CD的垂直平分线l： 与直线l和抛物线有两上交点矛盾，下略.
例5 设过抛物线 的顶点O的两弦OA、OB互相垂直，求抛物线顶点O在AB上射影N的轨迹方程.
分析：求与抛物线有关的轨迹方程，可先把N看成定点 ;待求得 的关系后再用动点坐标 来表示，也可结合几何知识，通过巧妙替换，简化运算.
解法一：设
则： ，
， 即
， ①
把N点看作定点，则AB所在的直线方程为： 显然
代入 化简整理得：
， ②
由①、②得： ，化简得
用x、y分别表示 得：
解法二：点N在以OA、OB为直径的两圆的交点(非原点)的轨迹上，设 ，则以OA为直径的圆方程为：
①
设 ，OA⊥OB，则
在求以OB为直径的圆方程时以 代 ，可得
②
由①+②得：
例6如图所示，直线 和 相交于点M， ⊥ ，点 ，以A、B为端点的曲线段C上的任一点到 的距离与到点N的距离相等，若△AMN为锐角三角形， ， ，且 ，建立适当的坐标系，求曲线段C的方程.
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