1. 圆定理

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概要：1 圆的基本性质1 1圆的定义在平面内,和某一定点的距离等于定长的点的集合叫做圆周,简称为圆；其中定点叫做圆的圆心,廉结圆心与圆上任意一点的线段叫做半径同圆的半径都相等连结圆上任意两点的线段叫做这个圆的弦,通过圆心的弦叫做直径圆上任意两点间的部分叫做弧圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧都叫做半圆,大于半圆的弧叫做优弧,小于半圆的弧叫做劣弧由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形两个圆全等的充要条件是两个圆的半径相等半径相等的圆叫做等圆,同圆或等圆的半径相等1 2 不共线的三点确定一个圆经过一点可以作无数个圆经过两点也可以作无数个圆,且圆心都在连结这两点的线段的垂直平分线上定理 过不共线的三个点,可以作且只可以作一个圆推论 三角形的三边垂直平分线相交于一点,这个点就是三角形的外心三角形的三条高线的交点叫三角形的垂心1．3 垂径定理圆是中心对称图形；圆心是它的对称中心圆是周对称图形,任一条通过圆心的直线都是它的对称轴定理 垂直于弦的直径平分这条弦,并且评分弦所对的两条弧推论1 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦并且平分弦所对

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1 圆的基本性质
1 1圆的定义
在平面内,和某一定点的距离等于定长的点的集合叫做圆周,简称为圆；其中定点叫做圆的圆心,廉结圆心与圆上任意一点的线段叫做半径
同圆的半径都相等
连结圆上任意两点的线段叫做这个圆的弦,通过圆心的弦叫做直径
圆上任意两点间的部分叫做弧
圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧都叫做半圆,大于半圆的弧叫做优弧,小于半圆的弧叫做劣弧
由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形
两个圆全等的充要条件是两个圆的半径相等
半径相等的圆叫做等圆,同圆或等圆的半径相等
1 2 不共线的三点确定一个圆
经过一点可以作无数个圆
经过两点也可以作无数个圆,且圆心都在连结这两点的线段的垂直平分线上
定理 过不共线的三个点,可以作且只可以作一个圆
推论 三角形的三边垂直平分线相交于一点,这个点就是三角形的外心
三角形的三条高线的交点叫三角形的垂心
1．3 垂径定理
圆是中心对称图形；圆心是它的对称中心
圆是周对称图形,任一条通过圆心的直线都是它的对称轴
定理 垂直于弦的直径平分这条弦,并且评分弦所对的两条弧
推论1 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧
推论2 弦的垂直平分弦经过圆心,并且平分弦所对的两条弧
推论3 平分弦所对的一条弧的直径,垂直评分弦,并且平分弦所对的另一条弧
1.4 弧、弦和弦心距
定理 在同圆或等圆中,相等的弧所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等

2 圆与直线的位置关系
2.1圆与直线的位置关系
如果一条直线和一个圆没有公共点,我们就说这条直线和这个圆相离
如果一条直线和一个圆只有一个公共点,我们就说这条直线和这个圆相切,这条直线叫做圆的切线,这个公共点叫做它们的切点
定理 经过圆的半径外端点,并且垂直于这条半径的直线是这个圆的切线
定理 圆的切线垂直经过切点的半径
推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
如果一条直线和一个圆有两个公共点,我们就说,这条直线和这个圆相交,这条直线叫这个圆的割线,这两个公共点叫做它们的交点
直线和圆的位置关系只能由相离、相切和相交三种
2.2三角形的内切圆
如果一个多边形的各边所在的直线,都和一个圆相切,这个多边形叫做圆的外切多边形,这个圆叫做多边形的内切圆
定理 三角形的三个内角平分线交于一点,这点是三角形的内心
三角形一内角评分线和其余两内角的外角评分线交于一点,这一点叫做三角形的旁心.以旁心为圆心可以作一个圆和一边及其他两边的延长线相切,所作的圆叫做三角形的旁切圆
2.3切线长定理
定理 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角
2.4圆的外切四边形
定理 圆的外切四边形的两组对边的和相等
定理 如果四边形两组对边的和相等,那么它必有内切圆

3 圆与圆的位置关系
3.1两圆的位置关系
在平面内,不重合的两圆.它们的位置关系,有以下五种情况：外离、外切、相交、内切、外切
经过两个圆的圆心的直线,叫做两圆的连心线,两个圆心之间的距离叫做圆心距
定理 两圆的连心线是两圆的对称轴,并且两圆相切时,它们切点在连心线上
（1）两圆外离 d>R+r
（2）两圆外切 d=R+r
（3）两圆相交 R-r<d<R+r (R>r)
（4）两圆内切 d=R-r (R>r)
（5）两圆内含 d<R-r (R>r)
特殊情况,两圆是同心圆 d=0
3.2两圆的公切线
定理 两圆的两条外公切线的长相等；两圆的两条内公切线的长也相等

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