概要：在初等数学中，几何与代数是彼此独立的两个分支；在方法上，它们也基本是互不相关的。解析几何的建立，不仅由于在内容上引入了变量的研究而开创了变量数学，而且在方法上也使几何方法与代数方法结合起来。在迪沙格和帕斯卡开辟了射影几何的同时，笛卡儿和费尔马开始构思现代解析几何的概念。这两项研究之间存在一个根本区别：前者是几何学的一个分支，后者是几何学的一种方法。1637年，笛卡儿发表了《方法论》及其三个附录，他对解析几何的贡献，就在第三个附录《几何学》中，他提出了几种由机械运动生成的新曲线。在《平面和立体轨迹导论》中，费尔马解析地定义了许多新的曲线。在很大程度上，笛卡儿从轨迹开始，然后求它的方程；费尔马则从方程出发，然后来研究轨迹。这正是解析几何基本原则的两个相反的方面，“解析几何”的名称是以后才定下来的。这门课程达到现在课本中熟悉的形式，是100多年以后的事。象今天这样使用坐标、横坐标、纵坐标这几个术语，是莱布尼兹于1692年提出的。1733年，年仅18岁的克雷洛出版了《关于双重曲率曲线的研究》一书，这是最早的一部空间解析几何著作。174
三大核心领域之几何学范畴,标签：数学学习方法,高中数学学习方法,http://www.85jc.com在初等数学中，几何与代数是彼此独立的两个分支；在方法上，它们也基本是互不相关的。解析几何的建立，不仅由于在内容上引入了变量的研究而开创了变量数学，而且在方法上也使几何方法与代数方法结合起来。
在迪沙格和帕斯卡开辟了射影几何的同时，笛卡儿和费尔马开始构思现代解析几何的概念。这两项研究之间存在一个根本区别：前者是几何学的一个分支，后者是几何学的一种方法。
1637年，笛卡儿发表了《方法论》及其三个附录，他对解析几何的贡献，就在第三个附录《几何学》中，他提出了几种由机械运动生成的新曲线。在《平面和立体轨迹导论》中，费尔马解析地定义了许多新的曲线。在很大程度上，笛卡儿从轨迹开始，然后求它的方程；费尔马则从方程出发，然后来研究轨迹。这正是解析几何基本原则的两个相反的方面，“解析几何”的名称是以后才定下来的。
这门课程达到现在课本中熟悉的形式，是100多年以后的事。象今天这样使用坐标、横坐标、纵坐标这几个术语，是莱布尼兹于1692年提出的。1733年，年仅18岁的克雷洛出版了《关于双重曲率曲线的研究》一书，这是最早的一部空间解析几何著作。1748年，欧拉写的《无穷分析概要》，可以说是符合现代意义的第一部解析几何学教程。1788年，拉格朗日开始研究有向线段的理论。1844年，格拉斯曼提出了多维空间的概念，并引入向量的记号。于是多维解析几何出现了。
解析几何在近代的发展，产生了无穷维解析几何和代数几何等一些分支。普通解析几何只不过是代数几何的一部分，而代数几何的发展同抽象代数有着密切的联系。
4、非欧几何
非欧几何有三种不同的含义：狭义的，单指罗氏(罗巴切夫斯基)几何；广义的，泛指一切和欧氏(欧几里得)几何不同的几何；通常意义的，指罗氏几何和黎曼几何。 www.85jc.com
欧几里得的第5公设(平行公设)在数学史上占有特殊的地位，它与前4条公设相比，性质显得太复杂了。它在《原本》中第一次应用是在证明第29个定理时，而且此后似乎总是尽量避免使用它。因此人们怀疑第五公设的公理地位，并探索用其它公理来证明它，以使它变为一条定理。在三千多年的时间中，进行这种探索并有案可查的就达两千人以上，其中包括许多知名的数学家，但他们都失败了。
罗巴契夫斯基于1826年，鲍耶于1832年发表了划时代的研究结果，开创了非欧几何。在这种几何中，他们假设“过不在已知直线上的一点，可以引至少两条直线平行于已知直线”，用以代替第五公设，同时保留了欧氏几何的其它公设。
1854年，黎曼推出了另一种非欧几何。在这种几何中，他假设“过已知直线外一点，没有和已知直线平行的直线可引”，用以代替第5公设，同时保留了欧氏几何的其它公设。1871年，克莱因把这3种几何：罗巴契夫斯基―鲍耶的、欧几里得的和黎曼的分别定名为双曲几何、抛物几何和椭圆几何。
非欧几何的发现不仅最终解决了平行公设的问题――平行公设被证明是独立于欧氏几何的其它公设的，而且把几何学从其传统模型中解放出来，创造了许多不同体系的几何的道路被打开了。
1854年，黎曼发表了“关于作为几何学基础的假设的讲演”。他指出：每种不同的(两个无限靠近的点的)距离公式决定了最终产生的空间和几何的性质。1872年，克莱因建立了各种几何系统按照不同变换群不变量的分类方法。
19世纪以后，几何空间概念发展的另一方向，是按照所研究流形的微分几何原则的分类，每一种几何都对应着一种定理系统。1899年，希尔伯特发表了《几何基础》一书，提出了完备的几何公理体系，建立了欧氏几何的严密的基础，并给出了证明一个公理体系的相容性(无矛盾性)、独立性和完备性的普遍原则。按照他的观点，不同的几何空间乃是从属于不同几何公理要求的元素集合。欧氏几何和非欧几何，在大量的几何系统中，只不过是极其特殊的情形罢了。
5、拓扑学
1736年，欧拉发表论代，讨论哥尼斯堡七桥问题。他还提出球面三角形剖分图形顶点、边、面之间关系的欧拉公式，这可以说是拓扑学的开端。
庞加莱于1895～1904年建立了拓扑学，采用代数组合的方法研究拓扑性质。他把欧拉公式推广为欧拉―庞加莱公式，与此有关的理论现在称为同调理论和同伦理论。以后的拓扑学主要按照庞加莱的设想发展。
拓扑学开始是几何学的一个分支，在二十世纪它得到了极大的推广。1906年，弗雷歇发表博士论代，把函数作为一个“点”来看，把函数收敛描绘成点的收敛，这就把康托的点集论和分析学的抽象化联系起来了。他在函数所构成的集合中引入距离的概念，构成距离空间，展开了线性距离空间的理论。在这个基础上，产生了点集拓扑学。在豪斯道夫的《点集论纲要》一书中，出现了更一般的点集拓扑学的完整想法。第二次世界大战后，把分析引进拓扑，发展了微分拓扑。
现在的拓扑学可以粗略地定义为对于连续性的数学研究。任何事物的集合都能在某种意义上构成拓扑空间，拓扑学的概念和理论已基本完组成为数学的基础理论之一，渗入到各个分支，并且成功地应用于电磁学和物理学的研究。
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