1. 浅谈在整数除法中余数可以为零

2. [10-10 23:13:42]   来源：http://www.85jc.com  数学教学随笔   阅读：8404次

概要：[page]-->⑵《数学手册》(人民教育出版社,1979年)第1057页“数论”的“辗转相除法”中,有如下表述:“每一个整数a可以唯一地通过正整数b表示为a=bq+r,0≤r上述不等式0≤r值得注意的是,“辗转相除法”又称“欧几里得算法”,我国宋代数学家秦九韶早在公元1247年即在其著作《数书九章》中,对这一算法进行过卓有成效的研究。⑶《数学手册》(人民教育出版社,1979年)第1066页“数论”的“同余式”中,有如下表述:“设以m为模,则可将全体整数分为m个类,同类的数都同余,不同类的数都不同余,称这样的类为同余类,每类中各取一数为代表,例如:0,1,2,…,m-1构成一个完全剩余类。”由此易知,在以0为代表的这个剩余类中,每个数除以m,所得的余数均为0。也就是说,此类数中的每一个都是m的倍数。事实上,我们不仅从剩余类的

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⑵《数学手册》(人民教育出版社,1979年)第1057页“数论”的“辗转相除法”中,有如下表述:
“每一个整数a可以唯一地通过正整数b表示为a=bq+r,0≤r
上述不等式0≤r
值得注意的是,“辗转相除法”又称“欧几里得算法”,我国宋代数学家秦九韶早在公元1247年即在其著作《数书九章》中,对这一算法进行过卓有成效的研究。
⑶《数学手册》(人民教育出版社,1979年)第1066页“数论”的“同余式”中,有如下表述:“设以m为模,则可将全体整数分为m个类,同类的数都同余,不同类的数都不同余,称这样的类为同余类,每类中各取一数为代表,例如:0,1,2,…,m-1构成一个完全剩余类。”
由此易知,在以0为代表的这个剩余类中,每个数除以m,所得的余数均为0。也就是说,此类数中的每一个都是m的倍数。
事实上,我们不仅从剩余类的理论中,看到了对“余数为0”的认可,还可以运用剩余类的理论和“抽屉原理”来解答一类有关整除性的题目。载有这类题目并给出解答的数学书籍比比皆是,下面举一例。
求证:在任意四个整数中,必有这样的两个数,它们的差能被3整除。
证明:因为任何整数除以3,所得余数只可能是0,1,2三种。也就是说,所有整数按其除以3所得余数来分,可分为余数分别为0,1,2的三个剩余类。把每个剩余类都看做一个抽屉,三个剩余类就是三个抽屉。根据“抽屉原理”,把四个整数放进三个抽屉,至少有一个抽屉里会有两个整数。这两个整数既属同一个剩余类,它们除以3所得的余数必然相同,故其差除以3所得的余数必为0,也就是说,这个差必能被3整除。
三、教材修改的建议
综上所述,在整数除法中,余数的确是可以为0的。但在现行的人教版小学数学教材中,对此却完全不予涉及,遂令在教学中起主导作用的教师迷茫不解,实在没有道理。由此观之,教材必须修改。
1.教材修改的重要意义
⑴有利于学生认识0的双重意义,知道0既可表示“无”,又可表示“有”。使用修改后的教材教学,能让学生初步感知对立统一的辩证思想。
⑵有利于学生用发展变化的辩证唯物主义观点认识概念间的关系,知道当学习了“有余数的除法”后,原来的“整除”(包括“表内除法”)可以看做是“有余数的除法”的特例,由此理解“特殊”与“一般”的关系。
⑶有利于学生后续的数学学习。
2.教材修改的具体意见
⑴要明确指出“没有余数”就是“余数为0”。
人教版小学数学三年级上册第四单元“有余数的除法”第50页例题1为:“搬15盆花布置会场,每组摆5盆,可以摆几组?”解答此题的横式为15÷5=3(组)。接着,课本上还列出了竖式。
这道例题显然起着承上启下的作用:既承接二年级下册的“表内除法”,又由此介绍除法竖式,为“有余数的除法”的教学作铺垫。
第51页例题2是:“一共有23盆花,每组摆5盆,最多可以摆4组,还多3盆。”这是“有余数的除法”的首个例题。解答时,课本上先列出横式:
23÷5=4(组)……3(盆)。
再在横式下方列出竖式,并用虚线将两个式子中的3连接,标上“余数”二字。
课本上述编排颇具匠心,但还应作点补充。建议在这两道例题后面,不失时机地编排一段对“0”的辩证认识的文字,让学生懂得:“0”虽然表示“没有”,但它同时又是一个确定的数,从这个意义上讲,“0”也表示“有”。紧接着,还要引导学生对这两道例题的竖式进行观察和比较,发现例题1竖式中最下面的“0”与例题2竖式最下面的“3”处于相同的位置,“3”既表示余数,“0”也可看成是余数。过去我们说15÷5恰好等于3,“没有余数”,现在我们也可说15÷5,商为3,“余数为0”。
相信这样处理,学生能在轻松愉快中接受辩证唯物主义思想的启蒙教育。
⑵要明确指出除数为a时,共有a种不同的余数:0,1,2,…,a-1。
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三年级上册第52页例题3为:“如果上例中一共有16盆花,可以摆几组?多几盆?如果是17盆,18盆,…,24盆,25盆呢?”

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